تبلیغات
وبسایت مهندسین مكانیك ایران - استخراج معادلات حركت ژیروسكوپ

وبسایت مهندسین مكانیك ایران
 
IRANIAN WEBSITE OF MECHANICAL ENGINEERS‏
معادلاتی كه در این نوشتار آمده اند از بخشهای مختلف كتاب درسی مكانیك مهندسی استاتیك و دینامیك ویرایش سوم  ISBN 0-02-354140-7  نوشته هایبلر برداشت شده است. اگر خواننده بخواهد موضوع را عمیق تر كاوش كند مقدمتاً لازم است كه فصلهای 20 و21 مبحث دینامیك را به طور روشن درك كرده باشد.بدین منظور ما شما را به كتاب درس هایبلر ارجاع می دهیم. ما معادلات را با اصلاحات جزئی و با نظر شخصی خود یكجا گردآوری نموده ایم. به امید آنكه استنتاج روان و سلیسی از معادلات حركت ژیروسكوپ بر پایه  F = ma معادله اصلی دینامیك فراهم آورده و این مطلب را به طور پیوسته و هدفمند بیان كرده باشیم.

 كار را با معادله مشهور بین نیرو جرم وشتاب نیوتن برای یك ذره  آغاز می كنیم كه یك كمیت برداری را نشان می دهد.

F = ma سیگما

این معادله بیان می دارد كه برآیند نیروهای خارجی وارد بر یك ذره برابر است با حاصلضرب جرم در شتاب آن.

در حقیقت فرمولاسیون اصلی نیوتن نیروهای خارجی وارد بر ذره را به گشتاور خطی آن مرتبط می سازد.

  'mv  = سیگماF

Vدر اینجا بیانگر سرعت   

  dv/dt نیز بیانگر نرخ تغییر سرعت در واحد زمان یا بعبارتی همان 'v

'mv نیز نرخ تغییرات گشتاور خطی نسبت به زمان می باشد.

 اگر r  را بعنوان بردار موقعیت ذره در نظر بگیریم و O را بعنوان مبدا مختصات  با در نظر گرفتن مبدا مختصات گشتاور زاویه ای    میتوانیم Ho   ذره را با ضرب خارجی هر دو سمت این معادله در  r  بدست آوریم

'r x SF = r x mv

  ( SMo) یا بعبارتی  r x SF برابر با مجموع گشتاور نیروهایی كه حول نقطه مبدا اثر می كنند خواهد بود پس میتوان نوشت:

   'SMo = r x mv

 

Ho = r x mv با داشتن مومنتوم (گشتاور) زاویه ای ذره

 مشتقHo را نسبت زمان بدست می آوریم 

d(Ho)/dt = d(r x mv)/dt

   'H'o = r' x mv + r x mv

بر اساس 'v = dr/dt = r

 خواهیم داشت:

  'H'o = r' x mr' + r x mv

 

از آنجایی كه حاصلضرب خارجی دو بردار معادل صفر خواهد بود

 r' x mr' = m(r' x r') = 0

 بنابر این:

     'H'o = r x mv

 با جایگذاری معادله در جمع گشتاورها داریم:

 SMo = H'o

 از این رو مجموع و برآیند گشتاورهای یك ذره متحرك حول نقطه مبداء برابر با نرخ تغییرات گشتاور زاویه ای نسبت به زمان خواهد بود. برای سیستم ذرات می بایست برآیند گشتاور تمام نیروهای موثر بر ذرات را محاسبه نمود.

در معادله زیر :

 Si[(r x SF)i + (r x Sf)i] = Si[H'o]i

Sf  برآیند  همه ذرات موجود در سیستم می باشد بر اثرنیروهای داخلی موثر بر ذره  iام از نیروهای داخلی صرف نظر می شود از این رو كه دقیقاً معادل با یكدیگر منتهی در دو سوی مخالف عمل می كنند

 بنابراین Si(r x Sf)i = 0

 و معادله ای كه تا اینجا برای سیستم ذرات استنتاج می شود به همان فرم و شكل معادله ای است كه برای یك ذره به كار میرود:

 Si[r x SF]i = Si[H'o]i

SMo = H'o

بعبارت دیگر بیان می دارد كه مجموع گشتاورها حول نقطه مبداء بر اثر وجود نیروهای خارجی بر سیستم ذرات برابر است با نرخ تغییرات گشتاور زاویه ای سیستم ذرات حول همان نقطه مبداء. به وضوح در می یابیم كه این معادله برای هر سیستم پیكره جامد ذرات صادق است و از این رو می توانیم این معادله را در تحلیل ژیروسكوپ نیز به كار ببندیم.

چیزی كه اكنون برای توضیح و بیان گشتاور زاویه ای  Ho  لازم است این است كه ما می توانیم مقادیر فیزیكی نظیر جرم شعاع و سرعت زاویه ای و شتاب  زاویه ای  و مشتق زمانی آن H'oرا اندازه بگیریم.

و سرعت زاویه ای Dm  اگر در نظر بگیریم كه یك ذره در پیكره  دارای جرم اضافی  نسبت به مبداء و چارچوب مرجع میباشد:w

با دانستن اینكه

v = w x r

می توان نوشت:

      [DHo]i = r x Dmivi
[DHo]i = [r x (w x r)]iDmi

با جمع همه گشتاورهای زاویه ای برای تمامی ذرات پیكره داریم:

 Si[DHo]i = Si[r x (w x r)]iDmi

 اگر دلتا را حول مبداء بگیریم آنگاه

Dmi و    D [Ho]i

مقادیر فوق دیفرانسیلی خواهند شد و می توانیم سیگما را با انتگرال جایگزین نماییم .

ما در اینجا z را جای به كار بردن علامت معمولی انتگرال به كار برده ایم.   چرا كه علامت معمولی انتگرال را در دسترس نداشتیم.

 

zHodHo = zmr x (w x r) dm
Ho = zmr x (w x r) dm

 

   آنگاه می توانیم xyz را حول مرجع و مبداء در نظر بگیریم اگر سه محور k و   j   و  i

و سرعت زاویه ای امگا را در مولفه های r  و شعاع  Ho

مطابق زیر بیان نماییم:

 Ho = Hx i + Hy j + Hz k
r = x i + y j + z k
w = wx i + wy j + wz k

  

 با جایگذاری برای  Ho   در انتگرال مذكور خواهیم داشت:

 Hx i + Hy j + Hz k =
zm(x i + y j + z k) x [(wx i + wy j + wz k ) x (x i + y j + z k)]dm

با محاسبه ضرب خارجی و تركیب عبارتهای فوق خواهیم داشت:

Hx i + Hy j + Hz k =
[wxzm(y2+z2)dm - wyzmxy dm - wzzmxz dm] i
+ [- wxzmxy dm + wyzm(x2+z2)dm - wzzmyz dm] j
+ [- wxzmzx dm - wyzmyz dm + wzzm(x2+y2)dm] k

بنابر این با محاسبه انتگرال گشتاورها ی اینرسی و ضرب اینرسی ها می توانیم معادله را به فرم زیر بازنویسی كنیم:

Hx = + Ixxwx - Ixywy - Ixzwz
Hy = - Iyxwx + Iyywy - Iyzwz
Hz = - Izxwx - Izywy + Izzwz

اگر سیستم مختصات دو بعدی یا سه بعدی را انتخاب نماییم و تحلیل پیكره را با محور مختصات سه بعدی انجام دهیم

آنگاه حاصل همه ضربهای محورهای متعامد  برابر با صفر خواهند شد و معادله به صورت زیر مختصر می شود:

Hx = Ixxwx
Hy = Iyywy
Hz = Izzwz

 

زمانیكه محورها به شكلی كه توضیح داده شد انتخاب شوند این مقادیر اصل محورهای اینرسی نامیده می شوند.

 را در اختیار داریم و سرعت زاویه ای امگا نیز می تواند اندازه گیری شود.Ho اكنون ما گشتاور زاویه ای

كه  به جرم و ابعاد پیكره بستگی دارد كه می توان در جدول یافت یا به صورت دستی محاسبه نمود.

 

 

 

 

تحلیلی كه از ژیروسكوپ ارائه دادیم در صورتی كه سیستم مختصات دست كم دو یا سه بعدی را برای ژیروسكوپ انتخاب نماییم به مراتب ساده تر خواهد شد. اگر سیستم انتخاب شده بدین منظور لحاظ شده باشد آنگاه تمامی حاصلضربهای اینرسی برابر با صفر خواهند شد و ما تنها می بایست گشتاورهای اینرسی را محاسبه نماییم.برای انجام چنین كاری ما از سیستم مختصات چرخان استفاده خواهیم كرد كه مبداء آن نقطه ء پایین و تكیه گاه چرخش می باشد. سیستم مختصات چرخان از حركت محوری چرخش پیروی می كند و با چرخش خود انحراف زاویه ای از محور نخواهد داشت.

سرعت زاویه ای مختصات چرخان را از این پس با امگای بزرگ نشان خواهیم داد.

  'W = nutation + precession = q' + f

و مختصات چرخان را با محور مختصات سه بعدی كارتزین نشان گذاری می كنیم.از این رو یك مرجع ثابت سیستم مختصات خواهیم داشت كه نقطه اتكایی اصلی آن نقطه چرخش خواهد بود كه از این پس  نام می گیرند.محورهای ABC سرعت زاویه ای چرخش بر اساس محور مذكور مطابق با شكلهای 2 و 3 به شكل زیر  خواهد بود:

  'w = nutation + precession + spin = q' + f' + y

 زوایای qو  f, و y پس از ریاضیدان سوئیسی لئونارد اویلر بعنوان زوایای اویلر نامیده می شوند

زمانیكه محورهای چرخان روی محور ABC چرخیدندثابت لازم است كه

H'o را بر اساس بردارهای یكه اش محاسبه نماییم كه از زمانیكه امتدادشان تغییر یافته است دیگر ثابت نیستند.

پس خواهیم داشت:

(H'o)ABC = H'x i + H'y j + H'z k + Hx(di/dt) + Hy(dj/dt) + Hz(dk/dt)

جایی كه H'o مشتق گشتاور زاویه ای نسبت به زمان روی محور ABC

 واقع است مشتق زمانی بردارهای یكه را می توان بصورت زیر بیان نمود:ABC

di/dt = W x i
dj/dt = W
x j
dk/dt = W x k

  

مجموع گشتاور گشتاورها می تواند یه شكل زیر نوشته شود:

SMo = H'x i + H'y j + H'z k + W x Ho

SMx i + SMy j + SMz k = H'x i + H'y j + H'z k + W x Ho

جدولی به منظور پیدا كردن گشتاورهای اینرسی برای اشكال مختلف هندسی به صورت Ixx, Iyy, و Izz لیست شده است.

وقتی مركز گرانش در چرخ طیار فلایویل چرخش ما به شعاع R

 از مبداء مختصات محوری كه در نظر گرفته ایم.

محور هایx  و y محورهای اصلی اینرسی نیستند. بلكه موازی با محور اینرسی فلایویل می باشند 

بنابراین می توانیم از قضیه محورهای موازی برای مرتبط كردن

 گشتاور اینرسی xو y مولفه های Ixx و Iyy

 كه در زیر نشان داده شده اند استفاده نماییم.

 مسئله ای ایجاد نمی نماید چراكه محور  Iz   مولفه

از مركز جرم فلایویل عبور می كند. z

Ix = Ixx + mR2
Iy = Iyy + mR2
Iz = Izz

 

 Ix, Iy, Iz و رابطه میانIxx,Iyy, Izz  را بخاطر داشته باشید.

 ما حال می توانیم گشتاور زاویه ای چرخش را به صورت زیر نمایش دهیم:

Hx = Ixwx
Hy = Iywy

Hz = Izwz

 

با جایگذاری عبارات بالا در جمع معادلات مومنتوم (گشتاور) و با داشتن مشتق نسبت به زمان عبارات زیر حاصل خواهند شد:

SMx i + SMy j + SMz k =

(Ixw'xi + Iyw'yj + Izw'zk) + [( Wxi + Wyj + Wzk) x (Ixwxi + Iywyj + Izwzk)]

 

 با محاسبه ضربهای خارجی و تلفیق عبارات معادلات زیر به دست خواهند آمد:

SMx = Ixw'x - IyWzwy + IzWywz
SMy = Iyw'y - IzWxwz + IxWzwx

SMz = Izw'z - IxWywx + IyWxwy

 

می توانیم مولفه های سرعت زاویه ای محورهای چرخان xyz مطابق با شكل 2 را با سرعت زاویه ایW توضیح دهیم. wژیروسكوپ

 'W = q' + f
W = Wx i + Wy j + Wz
k
W = q' i + (f'sinq) j + (f'cosq
) k

w = q' + f' + y
'
w = wx i + wy j+ wz
k
w = q' i + (f'sinq) j + (f'cosq + y' ) k

در روابط بالا خواهیم داشت:W و w با جایگذاری مولفه های

 'SMx = Ixq" - Iy(f')2cosqsinq + Izf'sinq(f'cosq + y)
SMy = Iy(f'q'cosq + f"sinq) - Izq'(f'cosq + y') + Ixf'q'cosq

SMz = Iz(- f'q'sinq + f"cosq + y") - Ixf'q'sinq + Iyf'q'sinq

به طور كلی یافتن جوابی كه معادلات فوق را ارضا كند بسیار دشوار خواهد بود هرچند در مورد خیلی خاص اگر انحراف    زاویه ای 'fثابت باشد 'y چرخش به دور خود نیز ثابت خواهد ماندو مانند آنچه درشكل 3 نشان داده شده  زاویه چرخش محوری 90 درجه باشد حل این معادلات به وضوح ساده خواهند شد.

 

دراین مورد خواهیم داشت:

q' = 0
f
" = 0
y
" = 0
cos(900
) = 0
sin(900) = 1

 

در اینصورت معادله گشتاورها به صورت زیر ساده خواهد شد:

 'SMx = Izf'y
S
My = 0
SMz = 0

 

گشتاور مرتبط با محور x هادر این حالت تنها گشتاوری كه در معادله باقی می ماند خواهد بود.

در اینجا هیچ علامت منفی در معادله ظاهر نشده است چراكه ما برای بیان مقدار تمامی بردارها از قانون دست راست استفاده كرده ایم.

 بنابراین تمامی بردارها (مجموع گشتاورها حول محور xها )

(SMx)

و تمامی چرخشهای محوری در جهت مثبت خواهند بود. حول محورz

('y)و گردش ( 'fتقدم زاویه ای)خواهند داشت.

تحلیل ما درباره حركت ژیروسكوپ در زاویه 90 درجه به نتایج مهم زیر خواهد انجامید:

    'SMx = Izf'y

 

تنها در نتیجه وزن فلایویل باشد ( می توانیم از وزن شفت صرف نظر كنیم)x اگر تنها گشتاور حول محور و اگر فلایویل در فاصله Rاز پاشنه (پایه) چرخش باشد از این پس می توان نوشت: Iz = Izz

   'mgR = Izzf'y

 

كه در اینجا m جرم فلایویل وgشتاب گرانش زمین می باشد

 این معادله به ما می گوید اگر فلایویل در زاویه 90 درجه و در فاصله R از پاشنه چرخش قرار داشته باشدو فلایویل با سرعت زاویه ای ثابت 'y بچرخدانتظار می رود كه از چرخش باز نایستد این قضیه راجع به ثابت بودن سرعت زاویه ای حول محور

 y نیز صدق می كند.( 'f)

Izz = 1/2mr2 برای دیسك جامدی كه در حال چرخش است

وقتی كه شعاع دیسك r باشد در صورتی كه  بیشتر جرم در لبه های بیرونی متمركز است خواهیم داشت:

Izz = mr2

دیسك دوار جامد: 'mgR = 1/2mr2f'y
رینگ نازك دوار:  'mgR = mr2f'y

با در نظر گرفتن اینكه هم دیسك دوار و هم رینگ نازك دارای یك جرم هستند و شعاع یكسانی دارند محاسبهmgR چرخش كه در دیسك دوار مانند فلایویل استفاده می شود دو برابر سریعتر از چرخش رینگ دوار نازك می باشد.

مترجم : عرفان كسرایی

استفاده از این مقاله با ذكر نام نویسنده و مترجم و منابع اصلی و نقل از هوپا مجاز می باشد





طبقه بندی: مفاهیم بنیادی مكانیك، 
برچسب ها: استخراج معادلات حركت ژیروسكوپ،  
نوشته شده در تاریخ چهارشنبه 4 اسفند 1389 توسط محمد محمل زاده
تمامی حقوق این سایت محفوظ است
قالب وبلاگ